立体几何中的向量方法

　　基础知识整合

　　1．直线的方向向量和平面的法向量

　　(1)直线的方向向量

　　直线l上的向量e或与e\s\up3(01(01)共线的向量叫做直线l的方向向量，显然一条直线的方向向量有\s\up3(02(02)无数个．

　　(2)平面的法向量

　　如果表示向量n的有向线段所在\s\up3(03(03)直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n⊥α，此时向量n叫做平面α的法向量．

　　显然一个平面的法向量也有\s\up3(04(04)无数个，且它们是\s\up3(05(05)共线向量．

　　(3)设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则

　　l∥m⇔\s\up3(06(06)a∥b⇔\s\up3(07(07)a＝kb，k∈R；

　　l⊥m⇔\s\up3(08(08)a⊥b⇔\s\up3(09(09)a·b＝0；

　　l∥α⇔\s\up3(10(10)a⊥u⇔\s\up3(11(11)a·u＝0；

　　l⊥α⇔\s\up3(12(12)a∥u⇔\s\up3(13(13)a＝ku，k∈R；

　　α∥β⇔\s\up3(14(14)u∥v⇔\s\up3(15(15)u＝kv，k∈R；

　　α⊥β⇔\s\up3(16(16)u⊥v⇔\s\up3(17(17)u·v＝0.

　　2．空间向量与空间角的关系

　　(1)两条异面直线所成角的求法

　　设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝\s\up3(18(18)其中φ为异面直线a，b所成的角，范围是.

　　(2)直线和平面所成角的求法

　　如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝\s\up3(19(19)，φ的取值范围是.

(3)求二面角的大小