考点 利用导数研究函数的极值

题点 极值存在性问题

解 ∵f(x)＝x(1＋ln x)，x>0，

则f′(x)＝－x2(ln x).

当00，当x>1时，f′(x)<0.

∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，

∴函数f(x)在x＝1处取得极大值．

∵函数f(x)在区间2(1)(其中a>0)上存在极值，

∴>1，(1)解得2(1)

即实数a的取值范围为，1(1).

类型二 利用函数极值解决函数零点问题

例2 (1)函数f(x)＝3(1)x3－4x＋4的图象与直线y＝a恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是________．

考点 函数极值的综合应用

题点 函数零点与方程的根

答案 3(28)

解析 ∵f(x)＝3(1)x3－4x＋4，

∴f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．

令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗