(2)只要a不大于|x－3|＋|x－4|的最小值，则|x－3|＋|x－4|＜a的解集为空集，而|x－3|＋|x－4|＝|x－3|＋|4－x|≥|x－3＋4－x|＝1，

当且仅当(x－3)(4－x)≥0，即3≤x≤4时等号成立．

∴当3≤x≤4时，|x－3|＋|x－4|取得最小值1.

∴a的取值范围为(－∞，1]．

反思与感悟　(1)利用绝对值不等式求函数最值时，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式．

(2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键．

跟踪训练2　(1)已知x∈R，求f(x)＝|x＋1|－|x－2|的最值；

(2)若|x－3|＋|x＋1|＞a的解集不是R，求a的取值范围．

解　(1)∵|f(x)|＝||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3，

∴－3≤f(x)≤3，∴f(x)min＝－3，f(x)max＝3.

(2)∵|x－3|＋|x＋1|≥|(x－3)－(x＋1)|＝4，

∴|x－3|＋|x＋1|≥4.

∴当a＜4时，|x－3|＋|x＋1|＞a的解集为R.

又∵|x－3|＋|x＋1|＞a的解集不是R，∴a≥4.

∴a的取值范围是[4，＋∞)．

类型三　绝对值不等式的综合应用

例3　设函数f(x)＝＋|x－a|(a＞0)．

(1)证明：f(x)≥2；

(2)若f(3)＜5，求a的取值范围．

(1)证明　由a＞0，

可得f(x)＝＋|x－a|≥＝＋a≥2，

所以f(x)≥2.

(2)解　f(3)＝|3＋|＋|3－a|，

当a＞3时，f(3)＝a＋，

由f(3)＜5，得3＜a＜；

当0＜a≤3时，f(3)＝6－a＋，

由f(3)＜5，得＜a≤3.