当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=kx+2,

由得y2-y+2=0,当k=0时,方程组有唯一一组解即直线l与抛物线C有唯一公共点;当k≠0时,Δ=1-4×2×=0,即k=时,方程组有一组解,直线l与抛物线C有唯一公共点.

故所求直线l的方程是x=0或y=2或3x-4y+8=0.

【例2】直线y=ax+1和双曲线3x2-y2=1相交于A,B两点,问a为何值时,以AB为直径的圆过坐标原点?

解析:以AB为直径的圆过原点O等价于OA⊥OB,等价于=0,可用x1x2+y1y2=0表示,进而与方程组建立联系.

答案:设A(x1,y1),B(x2,y2),因为以AB为直径的圆过坐标原点,

所以OA⊥OB.所以x1x2+y1y2=0,

即x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0.

所以(a2+1)x1x2+a(x1+x2)+1=0.

由

所以

所以a2<6且a2≠3,(a2+1)·+1=0.

所以a=±1,即当a=±1时,以AB为直径的圆过坐标原点.

绿色通道

对题目中某些条件的等价转化是解好有关数学题的重要手段.以AB为直径的圆过坐标原点,可利用圆的几何性质转化为与坐标有关的条件x1x2+y1y2=0,进而联想到韦达定理的应用.故构造方程求解.解析几何问题中有些是设而不求,如设点代入,作差变形,借助斜率,中点坐标公式等手段解题也是解此类问题的常用技巧.

变式训练

2.椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A,B两点,C是AB的中点,若|AB|=22,OC的斜率为,求椭圆的方程.

答案:设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程并作差,得

a(x1+x2)(x1-x2)+b(y1+y2)(y1-y2)=0,