6b＋1＝0，Δ＝4(4－b)2－4×2(b2－6b＋1)＞0，解得2－3＜b＜2＋3.

x1＋x2＝b－4，x1x2＝，

y1y2＝(－x1＋b)(－x2＋b)＝b2－b(x1＋x2)＋x1x2＝，

因为·＝0，所以x1x2＋y1y2＝0，

即＋＝0，得b＝1.

故所求的直线方程为y＝－x＋1.

【点拨】平面向量与圆的交汇是平面解析几何的一个热点内容，解题时，一方面要能够正确地分析用向量表达式给出的题目的条件，将它们转化为图形中相应的位置关系，另一方面还要善于运用向量的运算解决问题.

【变式训练2】若曲线x2＋y2＋x－6y＋3＝0上两点P、Q满足①关于直线kx－y＋4＝0对称；②OP⊥OQ，则直线PQ的方程为　　　　　　　　　　.

【解析】由①知直线kx－y＋4＝0过圆心(－，3)，所以k＝2，故kPQ＝－.

设直线PQ的方程为y＝－x＋t，与圆的方程联立消去y，

得x2＋(4－t)x＋t2－6t＋3＝0.(*)

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由于OP⊥OQ，所以x1x2＋y1y2＝0，

即x1x2＋(－x1＋t)(－x2＋t)＝0，所以(x1＋x2)(－t)＋x1x2＋t2＝0.

由(*)知，x1＋x2＝，x1x2＝，代入上式，解得t＝或t＝.

此时方程(*)的判别式Δ＞0. 从而直线的方程为y＝－x＋或y＝－x＋，

即x＋2y－3＝0或2x＋4y－5＝0为所求直线方程.

题型三　与圆有关的最值问题

【例3】求与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程.

【解析】曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0可化为

(x－6)2＋(y－6)2＝18，它表示圆心为(6,6)，半径为3的圆.

作出直线x＋y－2＝0与圆(x－6)2＋(y－6)2＝18，

由图形可知，当所求圆的圆心在直线y＝x上时，半径最小.

设其半径为r，点(6,6)到直线x＋y＝2的距离为5，所以2r＋3＝5，即r＝，

点(0,0)到直线x＋y＝2的距离为，

所求圆的圆心为(2cos 45°，2sin 45°)，即(2,2)，

故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.

【点拨】解决与圆有关的最值问题时，要借助图形的几何性质，利用数形结合求解

【变式训练3】由直线y＝x＋1上的点向圆C：(x－3)2＋(y＋2)2＝1引切线，则切线长的最小值为(　　)