2018-2019学年高二数学人教A版选修4-5讲义:第四讲 二 用数学归纳法证明不等式举例 Word版含解析
2018-2019学年高二数学人教A版选修4-5讲义:第四讲 二 用数学归纳法证明不等式举例 Word版含解析第4页

  a3=f(a2)==;

  a4=f(a3)==.

  猜想an=(n∈N+).

  (2)证明:①易知,n=1时,猜想正确.

  ②假设n=k(k≥1,k∈N+)时猜想正确,

  即ak=,则ak+1=f(ak)=

  ===.

  这说明,n=k+1时猜想正确.

  由①②知,对于任何n∈N+,都有an=.

  

  利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是:观察-归纳-猜想-证明.即先通过观察部分项的特点.进行归纳,判断并猜想出一般结论,然后用数学归纳法进行证明.

  

  

  4.在数列{an}、{bn}中,a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列(n∈N+).

  (1)求a2,a3,a4及b2,b3,b4的值,由此猜测{an},{bn}的通项公式;

  (2)证明你的结论.

  解:(1)由条件得2bn=an+an+1,a=bnbn+1.

  由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25.

  猜测an=n(n+1),bn=(n+1)2.

  (2)用数学归纳法证明:①当n=1时,由上知结论成立.

  ②假设当n=k时,结论成立.

  即ak=k(k+1),bk=(k+1)2,

那么当n=k+1时,ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2).