证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证.

跟踪训练3　设a，b，c为任意三角形的三边长，I＝a＋b＋c，S＝ab＋bc＋ca，试证明：3S≤I2＜4S.

证明　∵I＝a＋b＋c，S＝ab＋bc＋ca，∴I2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)＝a2＋b2＋c2＋2S.于是，要证3S≤I2＜4S, 即证3S≤a2＋b2＋c2＋2S＜4S，即证S≤a2＋b2＋c2＜2S.

(1)要证S≤a2＋b2＋c2，即证a2＋b2＋c2－ab－bc－ca≥0，即证(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(a2＋c2－2ca)≥0，即证(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≥0.

∵(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(a－c)2≥0，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≥0，∴S≤a2＋b2＋c2成立.

(2)要证a2＋b2＋c2＜2S，即证a2＋b2＋c2－2ab－2bc－2ac＜0，即证(a2－ab－ac)＋(b2－ab－bc)＋(c2－ac－bc)＜0，即证a[a－(b＋c)]＋b[b－(a＋c)]＋c[c－(a＋b)]＜0.∵a，b，c为任意三角形的三边长，∴a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＞c，a＋c＞b，b＋c＞a，∴a[a－(b＋c)]＜0，b[b－(a＋c)]＜0，c[c－(a＋b)]＜0，∴a[a－(b＋c)]＋b[b－(a＋c)]＋c[c－(a＋b)]＜0，∴a2＋b2＋c2＜2S成立.

综合(1)(2)可知，S≤a2＋b2＋c2＜2S成立，于是3S≤I2＜4S成立.

因误用证明依据而出错

例4　已知a，b，c均为正实数，求证≥abc.

错解　因为a2b2＋b2c2＋c2a2≥3

＝3abc，a＋b＋c≥3，

所以≥＝abc.

错因分析　由于对不等式的性质把握不清而导致错误.不等式的性质：若a＞b＞0，c＞d＞0