图1

在直角坐标系中，已知两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，如图1,从P1、P2分别向x轴和y轴作垂线P1M1、P1N1和P2M2、P2N2，垂足分别为M1(x1，0)、N1(0，y1)、M2(x2，0)、N2(0，y2)，其中直线P1N1和P2M2相交于点Q.

在Rt△P1QP2中，|P1P2|2=|P1Q|2+|QP2|2.

因为|P1Q|=|M1M2|=|x2-x1|,|QP2|=|N1N2|=|y2-y1|，

所以|P1P2|2=|x2-x1|2+|y2-y1|2.

由此得到两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：|P1P2|=.

④(a)我们先计算在x轴和y轴两点间的距离.

(b)又问了B(3,4)到原点的距离，发现了直角三角形.

(c)猜想了任意两点间距离公式.

(d)最后求平面上任意两点间的距离公式.

这种由特殊到一般，由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法.同学们在做数学题时可以采用!

应用示例

例1 如图2，有一线段的长度是13，它的一个端点是A(-4，8)，另一个端点B的纵坐标是3，求这个端点的横坐标.

图2

解:设B(x，3)，根据|AB|=13，

即(x+4)2+(3-8)2=132，解得x=8或x=-16.