典题精讲

例1 若向量a,b,c满足a+b+c=0，且|a|=3,|b|=1,|c|=4,则a·b+b·c+a·c=_____________.

思路解析：本题可以利用数量积公式两边平方求解；也可由已知条件，得出三个向量之间的两两夹角，再用数量积公式求解.

方法一：∵a+b+c=0，∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=0.

∴2(a·b+b·c+a·c)=-（a2+b2+c2）

=-（|a|2+|b|2+|c|2）

=-（32+12+42）=-26.

∴a·b+b·c+a·c=-13.

方法二：根据已知条件可知|c|=|a|+|b|，c=-a-b,所以a与b同向，c与a+b反向.所以有a·b+b·c+a·c=3cos0°+4cos180°+12cos180°=3-4-12=-13.

答案：-13

绿色通道：由向量数量积定义及其运算律可推导出如下常用性质：

a2=｜a｜2，

(a+b)(c+d)=a·c+a·d+b·c+b·d,

(a+b)2=a2+2a·b+b2,

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c.

变式训练 已知|a|=5,|b|=12，当且仅当m为何值时，向量a+mb与a-mb互相垂直?

思路分析：(a+mb)⊥(a-mb)(a+mb)·(a-mb)=0.根据这一点可以很容易寻找到解题突破口.

解：若向量a+mb与a-mb互相垂直，则有(a+mb)·(a-mb)=0,

∴a2-m2b2=0.∵|a|=5,|b|=12，∴a2=25,b2=144.∴25-144m2=0.

∴m=±.

∴当且仅当m=±时，向量a+mb与a-mb互相垂直.

例2 已知||=1,||=,·=0,点C在∠AOB内,且∠AOC=30°.设=m+n(m、n∈R)，则等于...( )

A. B.3 C. D.

思路解析：本题可以利用向量的加法、实数与向量的积的坐标运算、向量数量积来解，向量是高中数学新增内容，所以它也成为高考重点考查的内容之一.深刻理解向量的运算，做到灵活运用，使解题简便.

方法一：以直线、OB分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则A(1,0),B(0,).

设=λ(cos30°,sin30°)=(λ,λ),另外=m+n=m(1,0)+n(0,),

得(λ,λ)=(m,n)