题型三　转化与化归思想的应用

例3　已知z是复数，z＋2i，均为实数，且(z＋ai)2的对应点在第一象限，求实数a的取值范围.

解　设z＝x＋yi(x，y∈R)，

则z＋2i＝x＋(y＋2)i为实数，∴y＝－2.

又＝＝(x－2i)(2＋i)

＝(2x＋2)＋(x－4)i为实数，

∴x＝4.∴z＝4－2i，

又∵(z＋ai)2＝(4－2i＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i在第一象限.

∴，解得2

∴实数a的取值范围是(2,6).

反思与感悟　在求复数时，常设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，把复数z满足的条件转化为实数x，y满足的条件，即复数问题实数化的基本思想在本章中非常重要.

跟踪训练3　已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.

解　设x＝a＋bi(a，b∈R)，则y＝a－bi.

又(x＋y)2－3xyi＝4－6i，

∴4a2－3(a2＋b2)i＝4－6i，

∴

∴或或或

∴或或或

题型四　类比思想的应用

复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分子分母有理化，只要注意i2＝－1.

在运算的过程中常用来降幂的公式有