(2)由z＋1－3i＝5－2i，得

z＝(5－2i)－(1－3i)＝(5－1)＋(－2＋3)i＝4＋i.

类型二　复数的乘法

例2　计算：

(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；

(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.

解　(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.

(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i

＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i

＝(－2＋11i＋5)(3－4i)＋2i

＝(3＋11i)(3－4i)＋2i

＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i

＝53＋21i＋2i＝53＋23i.

反思与感悟　(1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．

(2)平方差公式，完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟悉：i2＝－1，(1±i)2＝±2i.

跟踪训练2　(1)若复数(m2＋i)(1＋mi)是实数，则实数m＝________.

答案　－1

解析　∵(m2＋i)(1＋mi)＝m2－m＋(m3＋1)i，

∵(m2＋i)(1＋mi)是实数，∴m3＋1＝0，则m＝－1.

(2)已知复数z1＝(1＋i)(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.

解　设z2＝x＋2i，z1＝(－i)(1＋i)＝2－i，

z1·z2＝(2－i)(x＋2i)＝(2x＋2)＋(4－x)i.

∵z1·z2为实数，∴4－x＝0，∴x＝4，

z2＝4＋2i.

类型三　共轭复数的概念

例3　复数z满足z·＋2iz＝4＋2i，求复数z的共轭复数．

解　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi.

∵z·＋2iz＝4＋2i，

∴x2＋y2＋2i(x＋yi)＝4＋2i，

因此(x2＋y2－2y)＋2xi＝4＋2i.