课 题 曲线上一点处的切线 课 型 新授 时 间 学习目标 1．理解曲线在一点处的切线的概念．

2．理解并掌握曲线在一点处切线的斜率的概念、求法及切线方程的求法．

3．掌握"局部以直代曲"和"用割线的逼近切线"的思想方法． 学习重点 理解曲线在一点处的切线的定义，以及曲线在一点处切线的斜率的定义，掌握曲线在一点处切线斜率及切线方程的求法． 一、自主学习

（一）点附近的曲线

1．平均变化率：函数在区间上的平均变化率为 ．

即曲线上两点的连线（割线）的斜率

显然平均变化率近似地刻画了曲线在某个区间上的变化趋势。

2．如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？（点附近的曲线的研究）

（从直线上某点的变化趋势的研究谈起，结合"天圆地方"的故事带来"宏观上曲，微观上直"，"曲绝对，直相对"的初步感受，后提出"放大图形"的朴素方法．）

（1）观察"点附近的曲线"，随着图形放大，你看到了怎样的现象？

（2）这种现象下，这么一条特殊位置的直线从其趋势看几乎成了

　　这种思维方式就叫做"逼近思想"。

从上面的学习过程来看：

1）．曲线在点附近看上去几乎成了直线

2）．继续放大，曲线在点附近将逼近一条确定的直线，这条直线是过点 的所有直线中最逼近曲线的一条直线

3）．点附近可以用这条直线代替曲线

　　这样，我们就可以用直线的斜率来刻画曲线经过点时的变化趋势

练习：见课本（文P62，理P10）第3题： ； 。

3.怎样找到经过曲线上一点P处最逼近曲线的直线呢？如图

（1）试判断哪条直线在点附近更加逼近曲线？

（2）在点附近能作出比更加逼近曲线的直线么？

（3）在点附近能作出比，更加逼近曲线的直线么？

说明：随着点沿曲线向点运动，直线在点附近越来越逼近曲线．

（二）曲线上点P处的切线及其斜率

1．割线逼近切线

为曲线上不同于点的一点，这时，直线称为曲线的割线；

随着点沿曲线向点运动，割线在点附近越来越逼近曲线，当点无限逼近点时，直线最终成为点处最逼近曲线的直线，这条直线也称为曲线在点处的切线．

2．割线斜率逼近切线斜率

　　切线的概念提供了求切线斜率的方法．

问题：对比平均变化率这一近似刻画曲线在某个区间上的变化趋势的数学模型，在这里平均变化率表示为什么？又用怎样数学模型来刻画曲线上点处的变化趋势呢？

为了更好地反映点沿曲线向点运动，我们选择了一个变量．

不妨设，点的横坐标为，则点的横坐标为 ，

则割线的斜率为 = ，当点沿着曲线向点无限靠近时，割线的斜率就会无限逼近点处切线斜率，即当无限趋近于0时，无限趋近点处切线斜率（即为取0时的值）．

练习：见课本（文P62，理P10）第1、2题（在课本上作出答案）。

二、问题探究与合作交流

例题：已知，求曲线在处的切线斜率和切线方程．

变1：已知，求曲线在处的切线斜率和切线方程．

变2：已知，求曲线在处的切线斜率和切线方程．

变3：已知，求曲线在处的切线斜率是多少？

三．回顾小结

四、巩固练习

见课本（文P63，理P11）第4题；（文P67，理P16）第1、3题