1．4.2　微积分基本定理

　　已知函数f(x)＝2x＋1，F(x)＝x2＋x，

　　问题1：f(x) 和F′(x)有何关系？

　　提示：F′(x)＝f(x)．

　　问题2：利用定积分的几何意义求(2x＋1)dx的值．

　　提示： (2x＋1)dx＝6.

　　问题3：求F(2)－F(0)的值．

　　提示：F(2)－F(0)＝4＋2＝6.

　　问题4：(2x＋1)dx与F(2)－F(0)有什么关系？

　　提示：f(x)dx＝F(2)－F(0)．

　　1．微积分基本定理

　　如果F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积，则

　　f(x)dx＝F(b)－F(a)，其中F(x)叫做f(x)的一个原函数，由于[F(x)＋c]′＝f(x)，F(x)＋c也是f(x)的原函数，其中c为常数．

　　2．微积分基本定理的表示形式

　　一般地，原函数在[a，b]上的改变量F(b)－F(a)简记作F(x)|，因此，微积分基本定理可以写成形式：f(x)dx＝F(x)|＝F(b)－F(a)．

　　1．微积分基本定理表明，计算定积分f(x)dx的关键是找到满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)，通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)．

　　2．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的内在联系，最重要的是它也提供了计算定积分的一种有效方法．

　　3．定积分的性质

　　(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)；

(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；