(1)若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x应取何值？

(2)若广告商要求包装盒容积V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

考点　几何类型的优化问题

题点　几何体体积的最值问题

解　(1)由题意知包装盒的底面边长为x cm，

高为(30－x)cm,0

所以包装盒侧面积为S＝4x×(30－x)

＝8x(30－x)≤8×2＝8×225，

当且仅当x＝30－x，即x＝15时，等号成立，

所以若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x＝15.

(2)包装盒容积V＝2x2·(30－x)

＝－2x3＋60x2(0

所以V′＝－6x2＋120x＝－6x(x－20)．

令V′>0，得0

令V′<0，得20

所以当x＝20时，包装盒容积V取得最大值，此时包装盒的底面边长为20 cm，高为10 cm，包装盒的高与底面边长的比值为1∶2.

反思与感悟　面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．特别注意：在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．

跟踪训练1　已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最小时，圆柱的高h的值为________．

考点　几何类型的优化问题

题点　几何体体积的最值问题

答案　

解析　设圆柱的底面半径为r，则S圆柱底＝2πr2，

S圆柱侧＝2πrh，

∴圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrh，