二　用数学归纳法证明不等式举例

　　　1.掌握用数学归纳法证明不等式的常用方法与技巧．　2.理解贝努利不等式．

　　3．能综合运用数学归纳法与数列、三角函数等知识进行不等式的证明．

　　,　　　　　　　　[学生用书P57])

　　1．数学归纳法证明不等式

　　(1)用数学归纳法证明一个与正整数有关的不等式的步骤

　　①证明：当n取第一个值n0时结论成立；

　　②假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时结论成立，证明当n＝k＋1时结论也成立．

　　由①②可知命题对从n0开始的所有正整数n都成立．

　　(2)用数学归纳法证明不等式的重点

　　用数学归纳法证明不等式的重点在第二步(同时也是难点所在)，即假设f(k)>g(k)成立，证明f(k＋1)>g(k＋1)成立．

　　2．贝努利不等式

　　(1)定义：如果x是实数，且x>－1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有(1＋x)n>1＋nx．

　　(2)贝努利不等式的一般形式

　　①当α是实数，并且满足α>1或α<0时，有(1＋x)α≥1＋αx(x>－1)；

　　②当α是实数，并且满足0<α<1时，有(1＋x)α≤1＋αx(x>－1)．

　　1．判断(正确的打"√"，错误的打"×")

　　(1)用数学归纳法证明"2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)"，第一步的验证为21＋1≥12＋1＋2.(　　)

　　(2)设x>－1，且x≠0，n为大于1的自然数，则(1＋x)n<1＋nx.(　　)

　　(3)用数学归纳法证明不等式"＋＋＋...＋>"，当n＝1时，不等式左边的项为＋＋.(　　)

　　答案：(1)√　(2)×　(3)√

　　2．用数学归纳法证明不等式＋＋...＋>的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边应(　　)

　　A．增加了一项

　　B．增加了两项＋

　　C．增加了B中两项但减少了一项

D．以上各种情况均不对