柯西不等式的结构特征可以记为(a1＋a2＋...＋an)·(b1＋b2＋...＋bn)≥(＋＋...＋)2，其中ai，bi均为正实数(i＝1,2，...，n)，在使用柯西不等式时(要注意从整体上把握柯西不等式的结构特征)，准确地构造公式左侧的两个数组是解决问题的关键．

　　2．设a，b，c为正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.

　　证明：∵(a＋b＋c)

　　＝·[()2＋()2＋()2]

　　≥2＝(a＋b＋c)2，

　　即(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2，

　　又a，b，c为正实数，∴a＋b＋c>0.

　　∴＋＋≥a＋b＋c.

利用柯西不等式求最值 　　

　　[例3]　设2x＋3y＋5z＝29，求函数u＝＋＋ 的最大值．

　　[思路点拨]　本题考查三维柯西不等式的应用，解答本题需要利用好特定条件，设法去掉根号．

　　[精解详析]　根据柯西不等式

　　120＝3[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)]

　　≥(1×＋1×＋1×)2，

　　故＋＋≤2.

　　当且仅当2x＋1＝3y＋4＝5z＋6，

　　即x＝，y＝，z＝时等号成立，

　　此时umax＝2.

　　利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．

　　3．设x，y，z∈R，且满足：x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝，则x＋y＋z＝________.

解析：根据柯西不等式可得，(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2＝14，所以要取