3.平面向量数量积的运算律

【例3】 已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角为120°，求：（1）a·b；（2）（a+b）2;(3)a2-b2;(4)(2a-b)·(a+3b);

思路分析：本题主要考查数量积的定义及运算律.由于向量的数量积满足乘法对加法的分配律，因此向量的数量积运算可类似于多项式的乘法运算，如（a+b）2=(a+b)·（a+b）=(a+b)·a+(a+b)·b=a·a+b·a+a·b+b·b b=a2+2a·b+b2.

解：(1)a·b=|a||b|

cos120°

=5×4×(-)=-10;

(2)(a+b)2=a2+2a·b+b2

=|a|2+2a·b+|b|2

=25-2×10+16

=21;

(3)a2-b2=|a|2-|b|2=25-16=9;

(4)(2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2

=2|a|2+5a·b-3|b|2

=2×25+5×(-10)-3×16

=-48.

友情提示

（1）在进行向量数量积运算时，要严格按运算律进行；（2）由于向量数量积满足乘法对加法的分配律，故向量数量积中也有类似多项式乘法的公式：（a±b）2=a2±2a·b+b2 (a+b)·（a-b）=a2-b2 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c.

类题演练 3

已知|a|=|b|=5,〈a,b〉=,求|a+b|·|a-b|.

解析：因为a2=|a|2=25,b2=|b|2=25,

a·b=|a||b|cos〈a,b〉=5×5cos=

所以|a+b|=

同样可求|a-b|==5.

所以|a+b|·|a-b|=×5=.

变式提升 3

（1）若向量a与b夹角为30°，且|a|=,|b|=1,则向量p=a+b与q=a-b的夹角的余弦为_____.

解析：∵p·q=(a+b)·（a-b）=a2-b2=3-1=2,

又∵|p|=|a+b|=,

|q|=|a-b|==1,

∴cosθ=.