解：设等差数列{an}的公差为d，则Sn=na1+n（n－1）d. ∵S7=7，S15=75，

　　∴即 解得a1=－2，d=1.

　　∴=a1+（n－1）d=－2+（n－1）=.

　　∴－=. ∴数列{}是等差数列，其首项为－2，公差为.

　　∴Tn=n2－n.

小结与拓展：基本量的思想：常设首项、公差及首项，公比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。等差数列中，已知五个元素a1，an，n，d，Sn中的任意三个，便可求出其余两个.

题型2 等差数列的判定与证明

例2 已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，它的前n项和为Sn，且a3＝5，S6＝36.

求数列{an}的通项公式；

解：∵2an＋1＝an＋an＋2，∴{an}是等差数列，设{an}的首项为a1，公差为d，

　　　由a3＝5，S6＝36得，解得a1＝1，d＝2. ∴an＝2n－1.

变式训练2 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.设bn＝，证明：数列{bn}是等差数列；

证明：由已知an＋1＝2an＋2n得bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1.

又b1＝a1＝1， 因此{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．

小结与拓展：证明数列{an}是等差数列的两种基本方法是：1）利用定义，证明an－an－1（n≥2）为常数；2）利用等差中项，即证明2an=an－1+an+1（n≥2）.

题型3 等差数列的性质

例3 设等差数列的首项及公差均是正整数，前项和为，且，，

，则=_ _ _．答案：4020

变式训练3 在等差数列{an}中，已知log2(a5＋a9)＝3，则等差数列{an}的前13项的和

S13＝________.答案：52

解：∵log2(a5＋a9)＝3，∴a5＋a9＝23＝8.

∴S13＝＝＝＝52.

小结与拓展：解决等差（比）数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法，即运用条件转化成关于a1和d（q）的方程；②巧妙运用等差（比）数列的性质（如下标和的性质、子数列的性质、和的性质）.一般地，运用数列的性质，可化繁为简.

题型4 等差数列的前n项和及最值问题