对充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的判断要搞清楚它们的定义实质；①若p⇒q，但q p，则p是q的充分不必要条件；②若q⇒p，但pq，则p是q的必要不充分条件；③若p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；④若p q，且q p，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件.

充要条件的证明

例2.求证："f(x)＝sin(x＋φ)是奇函数"的充要条件是"f(0)＝0".

名师指津

1.首先分清条件和结论.本例中条件是"f(0)＝0"，结论是"f(x)＝sin(x＋φ)是奇函数"."p是q的......条件"，p是条件，q是结论；"p成立的......是q"，q是条件，p是结论.

2.充要条件的证明分两步证明：证明充分性时把条件当已知去推证结论的正确性；证明必要性时，结论当已知去推证条件的正确性.

练习1.求证："f(x)＝sin(x＋φ)是偶函数"的充要条件是"|f(0)|＝1".

例3.已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0，p≠1)，求数列{an}是等比数列的充要条件.

名师指津

本题以等比数列的判定为主线，根据数列前n项和通项之间的递推关系，严格利用等比数列定义判定.证明充要条件的命题，体现了思维的严谨性.

练习.求ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件.

固学案

A基础达标

一、选择题