类型一　公理4与等角定理的应用

例1　如图，已知在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：

(1)四边形MNA1C1是梯形；

(2)∠DNM＝∠D1A1C1.

证明　(1)如图 ，连结AC，在△ACD中，∵M，N分别是CD，AD的中点，

∴MN是△ACD的中位线，

∴MN∥AC，且MN＝AC.

由正方体的性质，得

AC∥A1C1，且AC＝A1C1.

∴MN∥A1C1，且MN＝A1C1，

即MN≠A1C1，

∴四边形MNA1C1是梯形．

(2)由(1)可知，MN∥A1C1.

又ND∥A1D1，且∠DNM与∠D1A1C1的两边的方向相同，∴∠DNM＝∠D1A1C1.

反思与感悟　(1)空间两条直线平行的证明

①定义法：即证明两条直线在同一平面内且两直线没有公共点．

②利用公理4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．

(2)等角定理的结论是相等，在实际应用时，一般是借助于图形判断两角的两边方向是否相同．