3．2用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式

　　[读教材·填要点]

　　贝努利(Bernoulli)不等式

　　设x>－1，且x≠0，n为大于1的自然数，则(1＋x)n>1＋nx.

　　[小问题·大思维]

　　在贝努利不等式中，指数n可以取任意实数吗？

　　提示：可以．但是贝努利不等式的体现形式有所变化．事实上：当把正整数n改成实数α后，将有以下几种情况出现：

　　(1)当α是实数，并且满足α>1或者α<0时，有(1＋x)α≥1＋αx(x>－1)．

　　(2)当α是实数，并且满足0<α<1时，有(1＋x)α≤1＋αx(x>－1)．

利用数学归纳法证明不等式 　　

　　[例1]　求证：＋＋＋...＋>1(n≥2，n∈N＋)．

　　[思路点拨]　本题考查数学归纳法的应用，解答本题需要注意n的取值范围，因为n≥2，n∈N＋，因此应验证n0＝2时不等式成立．

　　[精解详析]　(1)当n＝2时，左边＝＋＋＝>1.

　　∴n＝2时不等式成立．

　　(2)假设n＝k(k≥2，且k∈N)时，不等式成立，即

　　＋＋＋...＋>1，那么n＝k＋1时，

　　＋＋...＋＋

　　＝＋＋...＋＋＋

＝＋＋...＋＋－>1＋－＝1