(1)求椭圆离心率的范围；

(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.

【解析】(1)设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，

由余弦定理可知4c2＝m2＋n2－2mncos 60°，

因为m＋n＝2a，所以m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4a2－2mn，

所以4c2＝4a2－3mn，即3mn＝4a2－4c2.

又mn≤()2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)，

所以4a2－4c2≤3a2，所以≥，

即e≥，所以e的取值范围是[，1).

(2)由(1)知mn＝b2，所以＝mnsin 60°＝b2，

即△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.

【点拨】椭圆中△F1PF2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的使用；求范围时，要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用，如|PF1|·|PF2|≤()2，|PF1|≥a－c.

【变式训练2】已知P是椭圆＋＝1上的一点，Q，R分别是圆(x＋4)2＋y2＝和圆

(x－4)2＋y2＝上的点，则|PQ|＋|PR|的最小值是　　　　.

【解析】设F1，F2为椭圆左、右焦点，则F1，F2分别为两已知圆的圆心，

则|PQ|＋|PR|≥(|PF1|－)＋(|PF2|－)＝|PF1|＋|PF2|－1＝9.

所以|PQ|＋|PR|的最小值为9.

题型三　有关椭圆的综合问题

【例3】设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列.

(1)求E的离心率；

(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程.

【解析】(1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，

又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝a.

l的方程为y＝x＋c，其中c＝.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组

化简得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，