∴f(x)min=f(1)=-5,f(x)max=f()=.

变式提升 1

求y=|3x-x3|在［-2,2］上的最大值及最小值.

解:∵f(x)=y=|3x-x3|=|x|·|3-x2|满足f(-x)=f(x)为偶函数,

∴只需考查其在［0,2］上的最大值或最小值.

又f(x)=|3x-x3|=

故f′(x)=

令f′(x)=0,得x=1.

∵f(0)=0,f(2)=2,f()=0,f(1)=2,

∴f(x)在［-2,2］上的最大值为2,最小值为0.

类题演练 2

求函数y=5-36x+3x2+4x3在区间［-2,2］上的最大值与最小值.

解:y′=-36+6x+12x2=6(2x2+x-6).

令y′=0,解得x1=-2,x2=.

因为f(-2)=57,f()=-28,f(2)=-23,

所以函数的最大值为57,最小值为-28.

变式提升 2

求函数f(x)=x3-3x2+6x-2在区间［-1,1］上的最值.

解:f′(x)=3x2-6x+6=3(x2-2x+2),

因为f′(x)在［-1,1］内恒大于0,所以f(x)在［-1,1］上是增函数,故当x=-1时,f(x)取得最小值-12,当x=1时,f(x)取得最大值2.

即f(x)的最大值为2,最小值为-12.

类题演练3：

当x∈(1,2］时,函数f(x)=恒大于正数a,试求函数y=lg(a2-a+3)的最小值.

解:∵y′=(,

当x∈(1,2］时,y′<0,∴f(x)在(1,2］上单调递减,于是f(x)min=f(2)=.

由题意知a的取值范围是a<.