例1　(1)已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：|ax＋by|≤1；

(2)设a，b，c为正数，求证：＋＋≥(a＋b＋c)．

证明　(1)|ax＋by|＝≤＝1，当且仅当ay＝bx时，等号成立．

(2)由柯西不等式，得·≥a＋b，

即·≥a＋b.

同理，·≥b＋c，·≥a＋c.

将上面三个同向不等式相加，得

(＋＋)≥2(a＋b＋c)．

∴当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

＋＋≥(a＋b＋c)．

反思与感悟　利用柯西不等式的代数形式证明某些不等式时，要抓住不等式的基本特征：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，其中a，b，c，d∈R或(a＋b)(c＋d)≥(＋)2，其中a，b，c，d∈R＋.找出待证不等式中相应的两组数，当这两组数不太容易找时，需分析，增补(特别是对数字的增补：如a＝1×a)，变形等．

跟踪训练1　已知a1，a2，b1，b2∈R＋，求证：(a1b1＋a2b2)·≥(a1＋a2)2.

证明　∵a1，a2，b1，b2∈R＋，

∴(a1b1＋a2b2)＝·

≥2＝(a1＋a2)2.

当且仅当·＝·，即b1＝b2时，等号成立．

∴(a1b1＋a2b2)≥(a1＋a2)2.

例2　若实数x，y，z满足x2＋4y2＋z2＝3，求证：|x＋2y＋z|≤3.

证明　因为x2＋4y2＋z2＝3，

所以由柯西不等式得[x2＋(2y)2＋z2](12＋12＋12)≥(x＋2y＋z)2