图3

(3)对于实数a、b、c有(a·b)c=a(b·c);但对于向量a、b、c,(a·b)c=a(b·c)不成立.这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量,而a(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(a·b)c=a(b·c)不成立.

讨论结果①是数量,叫数量积.

②数量积满足a·b=b·a.(交换律);

(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(数乘结合律);

(a.+b)·c=a·c+b·c(分配律).

③1°(a+b)2=(a+b)·(a+b)

=a·a+a.·b+b·a+b·b=a2+2a·b+b2;

2°(a.+b)·(a.-b)=a.·a.-a.·b+b·a.-b·b=a.2-b2.

提出问题

①如何理解向量的投影与数量积？它们与向量之间有什么关系？

②能用"投影"来解释数量积的几何意义吗？

活动:教师引导学生来总结投影的概念,可以结合"探究",让学生用平面向量的数量积的定义,从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性的总结,提出注意点"投影"的概念,如图4.

图4

定义:|b|cosθ叫作向量b在a方向上的投影.并引导学生思考:

1°投影也是一个数量,不是向量;

2°当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ=0°时投影为|b|;当θ=180°时投影为-|b|.

教师结合学生对"投影"的理解,让学生总结出向量的数量积的几何意义:

数量积a·b等于a的长度与b在a方向上投影|b|Cosθ的乘积.

让学生思考:这个投影值可正、可负,也可为零,所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质:

设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量.

1°e·a=a·e=|a|cosθ.

2°a⊥ba·b=0.

3°当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.

特别地a·a=|a|2或|a|=.

4°cosθ=.

5°|a·b|≤|a||b|.

上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证,教师给予必要的补充和提示,在推