例1．已知函数f(x)=的图象上的一点及临近一点,则 ．

解：，

　∴

例2． 求在附近的平均变化率。

解：，所以

所以在附近的平均变化率为 　　我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，时的瞬时速度是多少？考察附近的情况：

思考：当趋近于0时，平均速度有什么样的变化趋势？

　　结论：当趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值．

　　从物理的角度看，时间间隔无限变小时，平均速度就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在时的瞬时速度是

为了表述方便，我们用

表示"当，趋近于0时，平均速度趋近于定值"

　　小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。 设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即

注意：（1）函数应在点的附近有定义，否则导数不存在

　　　（2）在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可能为0

　　　（3）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率

　　　（4）是函数对自变量在范围内的平均变化率.

　　　（5），当时，，所以

　　　（定义的变形）