=1+++...+++...+

故当n=k+1时,命题成立.由(1)(2)知,对n∈N*,n≥2, >1+不等式都成立.

温馨提示

此题容易犯两个错误,一是由n=k到n=k+1项数变化弄错,认为的后一项为,实际上应为；二是++...+共有多少项,实际上2k+1到2k+1是自然数递增,项数为2k+1-(2k+1)+1=2k.

三、综合题型

【例3】 某地区原有森林木材存量为a,且每年的增长率为25%,因生产建设的需要，每年年底要砍伐的木材量为b,设an表示n年后该地区森林木材的存量.

(1)求an的表达式;

(2)为保护生态环境,防止水土流失,该地区每年的森林木材量应不少于a,如果b=a,那么该地区今后会发生水土流失吗?若会,需要经过几年？(取lg2=0.30)

思路分析：

本题依题意先计算出第一年、第二年、第三年后的森林木材的存量,归纳猜想第n年后该地区森林木材的存量,并用数学归纳法加以证明，该地区若发生水土流失,则森林木材存量必须小于a,建立起an

解:(1)设第一年的森林木材存量为a1,第n年后的森林木材存量为an,

∴a1=a(1+)-b=a-b,

a2=a1-b=v(a-b)-b=()2a-(+1)b,

a3=a2-b=()3a-［()2++1］b,

由上面的a1,a2,a3推测

an=()na-［()n-1+()n-2+...++1］b=()na-4［()n-1］b(n∈N*).

证明:①当n=1时,a1=a-b,已证推测成立.

②假设n=k时,ak=()ka-4［()k-1］b成立.

则当n=k+1时,