典例精析

题型一　双曲线的定义与标准方程

【例1】已知动圆E与圆A：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆B：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心E的轨迹方程.

【解析】设动圆E的半径为r，则由已知|AE|＝r＋，|BE|＝r－，

所以|AE|－|BE|＝2，又A(－4,0)，B(4,0)，所以|AB|＝8,2＜|AB|.

根据双曲线定义知，点E的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支.

因为a＝，c＝4，所以b2＝c2－a2＝14，

故点E的轨迹方程是－＝1(x≥).

【点拨】利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出E点满足的几何条件，结合双曲线定义求解，要特别注意轨迹是否为双曲线的两支.

【变式训练1】P为双曲线－＝1的右支上一点，M，N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和

(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为(　　)

A.6 B.7 C.8 D.9

【解析】选D.

题型二　双曲线几何性质的运用

【例2】双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，x轴上有一点Q(2a,0)，若C上存在一点P，使＝0，求此双曲线离心率的取值范围.

【解析】设P(x，y)，则由＝0，得AP⊥PQ，则P在以AQ为直径的圆上，

即 (x－)2＋y2＝()2，①

又P在双曲线上，得－＝1，②

由①②消去y，得(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0，

即[(a2＋b2)x－(2a3－ab2)](x－a)＝0，

当x＝a时，P与A重合，不符合题意，舍去；

当x＝时，满足题意的点P存在，需x＝＞a，

化简得a2＞2b2，即3a2＞2c2，＜，

所以离心率的取值范围是(1，).

【点拨】根据双曲线上的点的范围或者焦半径的最小值建立不等式，是求离心率的取值范围的常用方法.

【变式训练2】设离心率为e的双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是 (　　)

A.k2－e2＞1 B.k2－e2＜1