题型二　直线的方向向量与平面的法向量

例2　如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，PB＝，PA＝PD＝CD＝BC＝1，AD＝，AB＝2，E是AD的中点，试证明\s\up6(→(→)是面ABCD的一个法向量，\s\up6(→(→)是面PAD的一个法向量.

证明　在Rt△BCD中，BC＝CD＝1，∴BD＝，

在△ABD中，AD＝BD＝，AB＝2，

∴∠ADB＝90°，在△PBD中，BD＝，PD＝1，PB＝，

∴∠PDB＝90°，

∴BD⊥PD，BD⊥AD，

∴BD⊥平面PAD.

即\s\up6(→(→)是平面PAD的一个法向量，

在△PAD中，PA＝PD＝1，AD＝，E是AD的中点，

∴PE⊥AD，且PE＝，

在Rt△BDE中，BD＝，DE＝，∴BE＝，

在△PBE中，PE＝，BE＝，PB＝，

∴∠PEB＝90°，∴PE⊥BE，

又PE⊥AD，∴PE⊥平面ABCD，

即\s\up6(→(→)为平面ABCD的一个法向量.

反思与感悟　(1)搞清直线的方向向量、平面的法向量和直线、平面的位置关系之间的内在联系；

(2)要熟练掌握判断向量共线、垂直的方法，在把向量问题转化为几何问题时，注意其等价性.

跟踪训练2　如图所示，四棱锥P－ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD为正方形且PD＝AD＝CD，E、F分别是PC、PB的中点.

(1)试以F为起点作直线DE的方向向量；

(2)试以F为起点作平面PBC的法向量.

解　(1)∵E、F分别是PC、PB的中点，

∴EF綊BC，

又BC綊AD，∴EF綊AD，