(6)奇偶性

余弦函数的图像关于y轴对称,即cos(-x)=cosx.∴余弦函数是偶函数.

这个变化情况可从下表及图像中直观地显示出来,教师可引导学生画图并列出下表:

图3

x -π ... - ... 0 ... ... π cosx -1 ↗ 0 ↗ 1 ↘ 0 ↘ -1 类比正弦函数性质的探究,学生可能通过图像已经看出来了,在余弦曲线上也有其他的对称点和对称轴,如余弦曲线还关于直线x＝0,x＝π等多条直线对称,余弦曲线还关于点(,0)等多个点对称,这是由它的周期性而来的.教师可就此引导学生进一步探讨,以开阔学生的视野.

探究余弦函数的性质后,学生自然会拿它与正弦函数的性质进行比较一番,这种习惯很好.比较最能澄清问题的本质属性,比较是最好的学习方法.

当我们仔细对比正弦函数、余弦函数性质后,会发现它们有很多共同之处.我们不妨把两个图像中的直角坐标系都去掉,会发现它们其实都是同样形状的曲线.所以它们的定义域相同,都为R.值域也相同,都是［-1,1］.最大值都是1,最小值都是-1,只不过由于y轴放置的位置不同,使取得最大(或最小)值的时刻不同.它们的周期相同,最小正周期都是2π.它们的图像都是轴对称图形和中心对称图形,且都是以图像上函数值为零所对应的点为对称中心,以过最值点且垂直于x轴的直线为对称轴.但是由于y轴的位置不同,对称中心及对称轴与x轴交点的横坐标也不同.它们都不具备单调性,但都有单调区间,且都是增、减区间间隔出现.也是由于y轴的位置改变,使增、减区间的位置有所不同.也使奇偶性发生了改变.由此可以看出,图像的平移变换对函数的性质会产生怎样的影响.

讨论结果:①-③略.

应用示例

例1 画出函数y=cosx-1,x∈R的简图,并根据图像讨论函数的性质.

活动:这是课本上紧接着余弦性质后的一道例题,目的是通过这道例题直接巩固所学的余弦函数的图像与性质.课堂上可放手让学生自己去求,教师适时地指导、点拨、纠错.并提示-1对余弦函数的图像与性质的影响.让学生进一步熟悉"五点法"作图,领悟图像作法的要领,最终达到熟练掌握.从实际教学来看,"五点法"作图易学却难掌握,学生需练扎实的基本功.可先让学生按"列表、描点、连线"三步来完成.对学生出现的种种失误,教师不要着急,在学生操作中一一纠正,这对以后学习大有好处.

解:按五个关键点列表,描点画出图像(如图4所示).

x 0 π 2π cosx 1 0 -1 0 1 cosx-1 0 -1 -2 -1 0