1、夹角

　　定义：是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作，则叫做向量与向量的夹角，记作

　　规定：

　　特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向；如果，那么与垂直，记作。

　　2、数量积

　（1）设是空间两个非零向量，我们把数量叫作向量的数量积，记作，即 ＝

　（2）夹角：．

　（3）运算律

　　；

　　；

思考：

1、若，是否有成立？

2、若，是否有，或成立？

3、向量数量积是否有结合律成立？ 例1． 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

已知：PO，PA分别是平面的垂线，斜线，AO是PA在平面内的射影，且，

求证：

证明：取直线的方向向量，同时取向量，。

因为，所以。

因为，且，所以

因此。

又因为，

所以

这个命题叫做三垂线定理，思考其逆定理如何证明

三垂线定理的逆定理：在平面内德一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。

例2．，是平面内的两条相交直线，如果，，求证：

证明：在内作任一直线个，分别在，，，，上取非零向量，，，。

因为与相交，所以向量，不平行，由向量共面的充要条件知，存在惟一的有序实数对，

使

将上式两边与向量作数量积，

得

因为，，

所以

所以，即

这就证明了直线垂直于平面内的任意一条直线，

所以