例2、在空间直角坐标系内，设平面经过点，平面的法向量为，是平面内任意一点，求满足的关系式.

解：由题意得

因为是平面的法向量，所以

从而

即

得到.

所以满足题意得关系式为.

变式2：已知A(2,1,1)，B(－2,3，－3)，C(4,5,9)，D是BC的中点．

(1)写出直线AD的一个方向向量；

(2)设平面α经过点D，且\s\up10(→(→)＋\s\up10(→(→)是平面α的法向量，M(x，y，z)是平面α内的任意一点，求x，y，z满足的关系式．

解　(1)∵A(2,1,1)，B(－2,3，－3)，C(4,5,9)，∴BC的中点D的坐标为(1,4,3)．

∴\s\up10(→(→)＝(1,4,3)－(2,1,1)＝(－1,3,2)．

此即为直线AD的一个方向向量．

(2)\s\up10(→(→)＝(－4,2，－4)，\s\up10(→(→)＝(2,4,8)，

∴\s\up10(→(→)＋\s\up10(→(→)＝(－2,6,4)，

　　\s\up10(→(→)＝(x－1，y－4，z－3)．

∵\s\up10(→(→)＋\s\up10(→(→)是平面α的法向量，

∴\s\up10(→(→)＋\s\up10(→(→))⊥\s\up10(→(→)，从而(\s\up10(→(→)＋\s\up10(→(→))·\s\up10(→(→)＝0，

即(－2,6,4)·(x－1，y－4，z－3)＝0，

－2(x－1)＋6(y－4)＋4(z－3)＝0.