热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

　　(1)求k的值及f(x)的表达式；

　　(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．

　　分析：根据题设条件构造函数关系，再应用导数求最值．

　　反思：解答一道应用题重点要过三关：事理关(需要读懂题意，知道讲的是什么事件)；文理关(需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系)；数理关(要求学生有对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化，进而借助数学知识进行解答)．对于这类问题，往往因忽视了数学语言和普通语言的转换，从而造成了解决应用问题的最大思维障碍．

　　题型二 利用导数求实际问题的最大值

　　【例题2】如图所示，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD＝2x，梯形面积为S.

　　(1)求面积S以x为自变量的函数关系式，并写出其定义域；

　　(2)求面积S的最大值．

　　分析：建立坐标系，求出椭圆方程，表示出梯形的面积，应用导数求最值．

　　反思：本题的关键是建立直角坐标系，得到椭圆方程＋＝1(y≥0)，进而得到梯形面积S＝2(x＋r)·.利用导数法解决实际问题，当遇到在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形时，若函数在这一点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．

　　题型三 易错辨析

　　易错点：在运用导数解决实际问题的过程中，常常因为忽略实际问题中函数的定义域而造成结果求解错误．解决问题的主要措施为：在准确理解题意的基础上，正确建模，在实际问题的定义域范围内求出问题的最优解．

　　【例题3】某厂生产一种机器，其固定成本(即固定投入)为0.5万元．但每生产100台，需要增加可变成本(即另增加投入)0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售收入(单位：万元)函数为R(x)＝5x－x2(0≤x≤5)，其中x是产品售出的数量(单位：百台)．

　　(1)把利润表示为年产量的函数；

　　(2)年产量是多少时，工厂所得利润最大？

　　错解：(1)y＝R(x)－C(x)＝－(0.5＋0.25x)＝－x2＋x－(0≤x≤5)．

　　(2)y′＝－x＋，令y′＝0，得x＝＝4.75，∴4.75必为最大值点．

　　∴年产量为475台时，工厂利润最大．

1将8分为两数之和，使其立方之和为最小，则分法为(　　)．