＝2－＋

　　＝2－，不等式成立．

　　由(1)(2)知原不等式在n≥2(n∈N)时均成立．

　　【例2】【分析】　本例中不等式左边是两项的积，而且含有等号，第一步需验证n＝1和n＝2时不等式成立，第二步推n＝k＋1时，为了凑出(k＋1)2，要恰当的放缩．

　　【证明】　(1)当n＝1时，左边＝1×1＝1＝右边，不等式成立．

　　当n＝2时，左边＝(1＋2)＝>22，不等式也成立．

　　(2)假设n＝k(k≥2)时，不等式成立，即(1＋2＋...＋k)≥k2.

　　则当n＝k＋1时，有

　　左边＝[(1＋2＋...＋k)＋(k＋1)]　

　　＝(1＋2＋...＋k)＋(1＋2＋...＋k)＋(k＋1)＋1

　　≥k2＋＋1＋(k＋1).

　　∵当k≥2时，

　　1＋＋...＋≥1＋＝，(*)

　　∴左边≥k2＋＋1＋(k＋1)

　　＝k2＋2k＋1＋>(k＋1)2.

　　这就是说当n＝k＋1时，不等式也成立．

　　由(1)(2)知，当n≥1时，原不等式成立．

　　【变式训练2】证明　(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝＝1，

　　左边＝右边．

　　当n＝2时，左边＝，右边＝，∵>，

　　∴左边>右边，∴当n＝1或n＝2时，不等式成立．

　　(2)假设当n＝k(k≥1)时，不等式成立，即

1＋＋＋...＋≥.