≥3×3＝9，

　　即＋＋≥，当且仅当a－b＝b－c＝c－d时，等号成立．

　　证明不等式的方法

　　(1)首先观察所要证的式子的结构特点及题目所给条件，看是否满足"一正、二定、三相等"的条件．若满足即可利用平均不等式证明．

　　(2)若题目不满足该条件，则可灵活利用已知条件构造出能利用三个正数的平均不等式的式子．　

　　　1.已知x＞0，y＞0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.

　　证明：因为x＞0，y＞0，

　　所以1＋x＋y2≥3＞0，

　　1＋x2＋y≥3＞0，

　　故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9xy.

　　2．已知x，y均为正数，且x＞y，求证：2x＋≥2y＋3.

　　证明：因为x＞0，y＞0，x－y＞0，

　　所以2x＋－2y

　　＝2(x－y)＋

　　＝(x－y)＋(x－y)＋

　　≥3＝3，

　　等号成立的条件是＝x－y，即x－y＝1.

　　所以2x＋≥2y＋3.

　　　利用三个正数的算术­几何平均不等式求最值[学生用书P10]

　　　求函数y＝x＋(x>1)的最小值．

　　【解】　因为x>1，所以x－1>0，y＝x＋

　　＝(x－1)＋(x－1)＋＋1

　　≥3＋1＝4，

当且仅当(x－1)＝(x－1)＝，