课堂导学

三点剖析

一,证明与自然数n有关的等式.

【例1】 已知an=1+++...+(n∈N*),是否存在n的整式q(n),使得等式a1+a2+...+an-1=q(n)(an-1)对于大于1的一切自然数n都成立?证明你的结论.

解：假设存在q(n),去探索q(n)等于多少.

当n=2时,由a1=q(2)(a2-1),即1=q(2)(1+-1),解得q(2)=2.

当n=3时,由a1+a2=q(3)(a3-1),

即1+(1+)=q(3)(1++-1),解得q(3)=3.

当n=4时,由a1+a2+a3=q(4)(a4-1),

即1+(1+)+(1++)=q(4)(1+++-1),

解得q(4)=4.由此猜想q(n)=n(n≥2,n∈N*).

下面用数学归纳法证明,当n≥2,n∈N*时,等式a1+a2+...+an-1=n(an-1)成立.

①当n=2时,由以上验证可知等式成立.

②假设当n=k(k≥2,k

∈N*

)时等式成立,

即a1+a2+...+ak-1=k(ak-1),

则当n=k+1时,a1+a2+...+ak-1+ak=k(ak-1)+ak=(k+1)ak-k=(k+1)ak-(k+1)+1=(k+1)

(ak+-1)=(k+1)(ak+1-1).

∴当n=k+1时,等式亦成立.

由①②知,对于大于1的自然数n,存在整式q(n)=n,使得等式a1+a2+...+an-1=q(n)(an-1)总成立.

温馨提示

这是一个探索性问题,整式q(n)需要用不完全归纳法来探求和发现,通过观察\,归纳\,猜想的思维途径去概括,然后用数学归纳法给出严密的证明.

二、证明与数列有关的问题

【例2】 已知Sn=1+++...+(n>1,n∈N*),

求证：>1+(n≥2，n∈N*).

证明：(1)当n=2时，=1+++=>1+,

即n=2时命题成立.

(2)设n=k时命题成立,即

=1+++...+>1+,

当n=k+1时,