§4用向量讨论垂直与平行

　　已知直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2；平面π1，π2的法向量分别为n1，n2.

　　问题1：若直线l1∥l2，直线l1垂直于平面π1，则它们的方向向量和法向量有什么关系？

　　提示：u1∥u2∥n1.

　　问题2：若l1⊥l2，l1∥π2呢？

　　提示：u1⊥u2，u1⊥n2.

　　问题3：若π1∥π2，则n1，n2有什么关系？

　　提示：n1∥n2.

　　1．空间中平行、垂直关系的向量表示

　　设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面π1，π2的法向量分别为n1，n2，则

线线平行 l∥m⇔a＝kb(k∈R) 线面平行 l∥π1⇔a⊥n1⇔a·n1＝0 面面平行 π1∥π2⇔n1∥n2⇔n1＝kn2(k∈R) 线线垂直 l⊥m⇔a·b＝0 线面垂直 l⊥π1⇔a∥n1⇔a＝kn1(k∈R) 面面垂直 π1⊥π2⇔n1⊥n2 ⇔n1·n2＝0 　　2.三垂线定理

　　若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的投影，则这两条直线垂直．

　　3．面面垂直的判定定理

　　若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直．

一条直线可由一点及其方向向量确定，平面可由一点及其法向量确定，因此可利用直线的方向向量与平面的法向量的平行、垂直来判定直线、平面的位置关系．这是向量法证明