证明：①若|a|>|b|，

　　左边＝＝

　　≥＝.

　　∵≤，≤，

　　∴＋≤.

　　∴左边≥＝右边．

　　②若|a|<|b|，

　　左边>0，右边<0，∴原不等式显然成立．

　　③若|a|＝|b|，原不等式显然成立．

　　综上可知原不等式成立.

绝对值三角不等式的应用 　　[例2]　(1)求函数y＝|x－3|－|x＋1|的最大值和最小值．

　　(2)如果关于x的不等式|x－3|＋|x－4|＜a的解集为空集，求实数a的取值范围．

　　[思路点拨]　利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解．

　　[解]　(1)法一：||x－3|－|x＋1||

　　≤|(x－3)－(x＋1)|＝4，

　　∴－4≤|x－3|－|x＋1|≤4.

　　∴ymax＝4，ymin＝－4.

　　法二：把函数看作分段函数．

　　y＝|x－3|－|x＋1|＝

　　∴－4≤y≤4.

　　∴ymax＝4，ymin＝－4.

　　(2)只要a不大于|x－3|＋|x－4|的最小值，则|x－3|＋|x－4|＜a的解集为空集，而|x－3|＋|x－4|＝|x－3|＋|4－x|≥|x－3＋4－x|＝1，

　　当且仅当(x－3)(4－x)≥0，即3≤x≤4时等号成立．

　　∴当3≤x≤4时，|x－3|＋|x－4|取得最小值1.

　　∴a的取值范围为(－∞，1]．