于是，左边>2+2+2+3=9.

∴++>9.

证法二：++=

=3+(+++++).

∵a,b,c同号且a+b+c=1,

∴a>0,b>0,c>0.

∴,,,,,均大于0，又a,b,c互不相等.由6个正数的均值不等式，得

左边=3+(+++++)≥3+=3+6=9.

∴++=9.

问题探究

问题：制作一个圆柱形的饮料盒，如果容积一定，怎样设计它的尺寸，才能使所用的材料最少？

导思：所用的材料最少的本质是什么意思？或者说从数学的角度 说是什么意思？分析出 ，实质是表面积最小.

探究：已知量：体积V.

需设量：底半径r,高h.

最终要研究的量：表面积S.

关系式：S=2πr2+2πrh.

=2πr2+.

=2πr2+

≥.

即当2πr2=,r=时表面积最小.

此时h=2r.

即饮料盒的底面半径为r=,高度为2时，用料最省.