故椭圆C的标准方程为＋＝1.

(2)假设存在斜率为－1的直线l，设为y＝－x＋m，

由(1)知F1，F2的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，

所以以线段F1F2为直径的圆为x2＋y2＝1，

由题意知圆心(0，0)到直线l的距离d＝<1，

得|m|<.

|AB|＝2＝2＝×，

联立得消去y，得7x2－8mx＋4m2－12＝0，

由题意得Δ＝(－8m)2－4×7(4m2－12)＝336－48m2＝48(7－m2)>0，解得m2<7，

设C(x1，y1)，D(x2，y2)，

则x1＋x2＝，x1x2＝，

|CD|＝|x1－x2|＝×

＝×＝×＝|AB|

＝××，

解得m2＝<7，得m＝±.

即存在符合条件的直线l，其方程为y＝－x±.

【规律方法】　1.解决直线与椭圆相交的问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.

2.设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则|AB|＝

＝ (k为直线斜率).

【训练1】 (1)(一题多解)已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为________.

(2)(一题多解)(2019·广东五校调研)若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为(　　)

A.＋＝1 B.＋＝1

C.＋＝1 D.＋＝1

【答案】　(1)　(2)D