[例1] 求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2+1所围成的曲边梯形的面积[参考公式12+22+...+n2=n(n+1)(2n+1)].
[思路点拨] 按分割、近似代替、求和、取极限求值四步骤进行.
[精解详析] 令f(x)=x2+1.
(1)分割
将区间[0,2]n等分,分点依次为
x0=0,x1=,x2=,...,xn-1=,xn=2.
第i个区间为(i=1,2,...,n),每个区间长度为Δx=-=.
(2)近似代替、求和
取ξi=(i=1,2,...,n),
Sn=·Δx=·=2+2.
=(12+22+...+n2)+2=·+2
=+2.
(3)取极限S=liSn=li=,即所求曲边梯形的面积为.
[一点通] 求曲边梯形面积的过程:
1.下列关于函数f(x)=x2在区间内各点处的函数值的说法正确的是( )
A.f(x)的值变化很小
B.f(x)的值变化很大
C.f(x)的值不变化
D.当n很大时,f(x)的值变化很小
解析:当n很大时,区间内的值相差很小,所以函数值相差很小,故选D.