得m·n=.则有

|a|=|2m+n|=;

|b|=|2n-3m|=.

所以a·b=(2m+n)·(2n-3m)=m·n-6m2+2n2=,

cosθ=.

所以a、b的夹角为120°.

友情提示

应用向量的数量积求夹角时，要注意分析要求的角是否是所构造的向量的夹角.

类题演练 2

若(a+b)⊥(2a-b),(a-2b)⊥(2a+b),试求a、b的夹角的余弦值.

解析：由(a+b)⊥(2a-b),(a-2b)⊥(2a+b),有

∴a2=b2,|a|2=|b|2,|a|=|b|.

由2a2+a·b-b2=0,得

a·b=b2-2a2=|b|2-2|a|2=|b|2-2×|b|2=-|b|2.

∴cosθ=.

∴a、b的夹角的余弦值为.

变式提升 2

已知|a|=5,|b|=12,当且仅当m为何值时，向量a+mb与a-mb互相垂直？

解析:若向量a+mb与a-mb互相垂直，则有(a+mb)·(a-mb)=0.

∴a2-m2b2=0.∵|a|=5,|b|=12,

∴a2=25,b2=144.

∴25-144m2=0.

∴m=±.

∴当且仅当m=±时，向量a+mb与a-mb互相垂直.