当

　　故, 以为中点的弦所在的直线方程为：；

　　上述结论中, 直线方程结构优美, 便于记忆, 使用方便。应用它解决与中点有关的圆锥曲线问题快捷准确。下面举例说明它们的应用。

一、 求以定点为中点的弦的所在的直线方程

例1、过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程。

　　解：由结论1，即可得以为中点的弦所在直线方程为：

整理得所求直线方程：

　　例2、已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点。若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由。

　　解：假设存在这样的直线，

　　由结论2得，以为中点的弦的直线方程为：

　　，

　　即 ， 代入双曲线方程并整理得，

这说明直线与双曲线不相交，故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线。

　　注意：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的位置非常重要。（1）若中点在圆锥曲线内，则被点平分的弦一般存在；（2）若中点在圆锥曲线外，则被点平分的弦可能不存在，必须对直线的存在性进行验证。

二、求过定点的弦或平行弦的中点的轨迹方程

例3．直线绕定点转动，且与双曲线相交，求相交弦中点的轨