答案 2k
解析 观察f(n)的表达式可知,右端分母是连续的正整数,
f(2k)=1+++...+,而f(2k+1)=1+++...++++...+.
因此f(2k+1)比f(2k)多了2k项.
规律方法 在书写f(k+1)时,一定要把包含f(k)的式子写出来,尤其是f(k+1)中的最后一项.除此之外,多了哪些项,少了哪些项都要分析清楚.
跟踪演练1 设f(n)=1+++...+(n∈N*),那么f(n+1)-f(n)等于________.
答案 ++
解析 ∵f(n)=1+++...+,
∴f(n+1)=1+++...++++,
∴f(n+1)-f(n)=++.
要点二 证明与自然数n有关的等式
例2 已知n∈N*,证明:1-+-+...+-=++...+.
证明 (1)当n=1时,左边=1-=,右边=,
等式成立;
(2)假设当n=k(k≥1,且k∈N*)时等式成立,即:
1-+-+...+-
=++...+.
则当n=k+1时,
左边=1-+-+...+-+
-
=++...++-
=++...+++