基底的判断思路

　　判断给出的三个向量能否构成基底，关键是要判断这三个向量是否共面．首先应考虑三个向量中是否有零向量，其次判断三个非零向量是否共面．如果从正面难以入手判断，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面．　

　　　设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{b，c，z}，③{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间一个基底的向量组有(　　)

　　A．1个　　　　　　　　　　 B．2个

　　C．3个 D.0个

　　解析：选B.因为x＝a＋b，

　　所以向量x，a，b共面．

　　如图，

　　令a＝\s\up6(→(→)，b＝\s\up6(→(→)，c＝\s\up6(→(→)，

　　则x＝\s\up6(→(→)，y＝\s\up6(→(→)，z＝\s\up6(→(→)，

　　a＋b＋c＝\s\up6(→(→).

　　可知向量b，c，z和x，y，a＋b＋c不共面，故选B.

　　探究点2　空间向量基本定理[学生用书P58]

　　如图，在三棱柱ABC­A′B′C′中，已知\s\up6(→(→)＝a，\s\up6(→(→)＝b，\s\up6(→(→)＝c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基底{a，b，c}表示向量\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→).

【解】　连接A′N(图略)．