p2＋q2＝pp＋qq＝|m·n|≤|m||n|

　　＝·＝.

　　又∵(p＋q)2≤2(p2＋q2)，

　　∴≤p2＋q2≤，

　　∴≤·，则(p＋q)4≤8(p＋q)．

　　又p＋q>0，

　　∴(p＋q)3≤8，故p＋q≤2.

　　规律总结：

　　使用二维柯西不等式的向量形式证明不等式，关键是合理构造出两个向量．同时，要注意向量模的计算公式|a|＝对数学式子变形的影响．

　　[再练一题]

　　1．若本例的条件中，把"p3＋q3＝2"改为"p2＋q2＝2"，试判断结论是否仍然成立？

　　【解】　设m＝(p，q)，n＝(1,1)，

　　则p＋q＝p·1＋q·1＝|m·n|≤|m|·|n|＝·.

　　又p2＋q2＝2.

　　∴p＋q≤·＝2.

　　故仍有结论p＋q≤2成立.

　　题型二、运用柯西不等式求最值

　　例2　若2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值．

　　【精彩点拨】　由2x＋3y＝1以及4x2＋9y2的形式，联系柯西不等式，可以通过构造(12＋12)作为一个因式而解决问题．

　　【自主解答】　由柯西不等式得(4x2＋9y2)(12＋12)≥(2x＋3y)2＝1.

　　∴4x2＋9y2≥，

　　当且仅当2x×1＝3y×1，

　　即x＝，y＝时取等号．

　　∴4x2＋9y2的最小值为.

　　规律总结：

1．利用柯西不等式求最值，不但要注意等号成立的条件，而且要善于配凑，保证出现常数结果．