[思路点拨] 先将图分解成两个基本图形(1)(2),再在简单的图形中利用射影定理证明所要的结论.
[证明] ∵CD垂直平分AB,
∴△ACD和△BDE均为直角三角形,且AD=BD.
又∵DF⊥AC,DG⊥BE,
∴AF·AC=AD2,
BG·BE=DB2.
∵AD2=DB2,
∴AF·AC=BG·BE.
将原图分成两部分来看,就可以分别在两个三角形中运用射影定理,实现了沟通两个比例式的目的.在求解此类问题时,关键就是把握基本图形,从所给图形中分离出基本图形进行求解或证明.
3.如图所示,设CD是Rt△ABC的斜边AB上的高.
求证:CA·CD=BC·AD.
证明:由射影定理知:
CD2=AD·BD,
CA2=AD·AB,
BC2=BD·AB.
∴CA·CD==AD·,
BC·AD=AD·.
即CA·CD=BC·AD.
4.Rt△ABC中有正方形DEFG,点D、G分别在AB、AC上,E、F在斜边BC上.
求证:EF2=BE·FC.
证明:过点A作AH⊥BC于H.
则DE∥AH∥GF.
∴=,=.