如果三个向量 a ⃗，b ⃗，c ⃗ 不共面，那么对空间任一向量 p ⃗，存在唯一一个有序实数组 {x,y,z}，使得 p ⃗=xa ⃗+yb ⃗+zc ⃗．如果三个向量 a ⃗，b ⃗，c ⃗ 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是 {p ⃗∣p ⃗=xa ⃗+yb ⃗+zc ⃗,x,y,z∈R}．这个集合可看作是由向量 a ⃗，b ⃗，c ⃗ 生成的，我们把 {a ⃗,b ⃗,c ⃗ } 叫做空间的一个基底（base），a ⃗，b ⃗，c ⃗ 都叫做基向量（base vectors）．空间任何三个不共面向量都可构成空间的一个基底．

空间向量的数量积运算

已知两个非零向量 a ⃗，b ⃗，在空间任取一点 O，作 (OA) ⃗=a ⃗，(OB) ⃗=b ⃗，则 ∠AOB 叫做向量 a ⃗，b ⃗ 的夹角，记作 ⟨a ⃗,b ⃗⟩．如果 ⟨a ⃗,b ⃗⟩=π/2，那么向量 a ⃗，b ⃗ 互相垂直，记作 a ⃗⊥b ⃗．

已知两个非零向量 a ⃗，b ⃗，则 ∣a ⃗∣∣b ⃗∣cos⟨a ⃗,b ⃗⟩ 叫做 a ⃗，b ⃗ 的数量积（inner product），记作 a ⃗⋅b ⃗．即 a ⃗⋅b ⃗=∣a ⃗∣∣b ⃗∣cos⟨a ⃗,b ⃗⟩．

零向量与任何向量的数量积为 0．

特别地，a ⃗⋅a ⃗=∣a ⃗∣∣a ⃗∣cos⟨a ⃗,a ⃗⟩=∣a ⃗∣^2．

空间向量的数量积满足如下的运算律：

(λa ⃗ )⋅b ⃗=λ(a ⃗⋅b ⃗ )；

a ⃗⋅b ⃗=b ⃗⋅a ⃗（交换律）；

a ⃗⋅(b ⃗+c ⃗ )=a ⃗⋅b ⃗+a ⃗⋅c ⃗（分配律）．

空间向量的坐标运算

空间向量的基本定理

(e_1 ) ⃗，(e_2 ) ⃗，(e_3 ) ⃗ 为有公共起点 O 的三个两两垂直的单位向量（我们称它们为单位正交基底），分别以 (e_1 ) ⃗，(e_2 ) ⃗，(e_3 ) ⃗ 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz．对于空间任意一个向量 p ⃗，一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到 (OP) ⃗=p ⃗．由空间向量的基本定理可知，存在有序实数组 {x,y,z}，使得 p ⃗=x(e_1 ) ⃗+y(e_2 ) ⃗+z(e_3 ) ⃗，我们把 x，y，z 称作向量 p ⃗ 在单位正交基底 (e_1 ) ⃗，(e_2 ) ⃗，(e_3 ) ⃗ 下的坐标，记作 p ⃗=(x,y,z)．​

空间向量的坐标运算

设 a ⃗=(a_1,a_2,a_3 )，b ⃗=(b_1,b_2,b_3 )，则

a ⃗+b ⃗=(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3 )，

a ⃗-b ⃗=(a_1-b_1,a_2-b_2,a_3-b_3 )，

λa ⃗=(λa_1,λa_2,λa_3 )，