4．某一件商品的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为 元时，利润最大.

　　【导学号：31062070】

　　[解析]　利润为S(x)＝(x－30)(200－x)

　　＝－x2＋230x－6 000，S′(x)＝－2x＋230，

　　由S′(x)＝0，得x＝115，这时利润达到最大．

　　[答案]　115

　　[合 作 探 究·攻 重 难]

面积、体积的最值问题 　　　请你设计一个包装盒，如图1­4­1，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．

　　图1­4­1

　　(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？

　　(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

　　[解]　设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm.

　　由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30.

　　(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，

所以当x＝15时，S取得最大值．