2　集合的基本关系

　　1．子集

　　(1)子集的概念

　　一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即若a∈A，则a∈B，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作AB(或BA)，这时我们说集合A是集合B的子集．

　　谈重点 如何理解子集的概念

　　(1)从文字的角度来看，集合A是集合B的子集，一定要强调集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即强调任意性，否则不一定成立．例如A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，集合A中有一个元素"1"不在集合B中，B中元素"4,5"不在集合A中，因此集合A与集合B不具有包含关系，尽管集合B中的元素比集合A中的元素多，但也不能以元素个数的多少来确定包含关系．

　　(2)从符号的角度看，"AB"说明"对任意的x∈A，都有x∈B"．这种符号语言对于证明一个集合是另一个集合的子集，作用十分明显．

　　(3)当集合A不包含于集合B(或集合B不包含集合A)时，记作AB(或BA)，用符号可以表示为"存在一个x∈A，使得xB"．"AB"表达的意义有两个方面．其一，A，B互不包含，如A＝{2,3}，B＝{4,5}；其二，A有可能包含B，如A＝{2,3,4,5}，B＝{3,4,5}．

　　(2)子集的图形表示

　　为了直观地表示集合间的关系，我们常用封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图．常用的封闭曲线有椭圆、矩形等．如，若用A表示我们班所有同学组成的集合，用B表示我们班所有女同学组成的集合，则BA.集合A与B的关系可用Venn图表示为：

　　(3)子集的性质

　　根据子集的定义和Venn图的表示方法可以得到以下性质：

　　①任何一个集合A都是它本身的子集，即AA.

　　②规定：空集是任何集合的子集，也就是说，对于任何一个集合A，都有A.

　　③对于集合A，B，C，如果AB，BC，则AC，即子集具有传递性，并且这条性质也可以推广到有限多个集合，即：若AB，BC，CD，...，MN，则AN.

　　下面仅对三个集合的情况进行证明．

　　证明：设x是集合A中的任一元素，∵AB，∴x∈B.

　　又∵BC，∴x∈C，即可由x∈A推出x∈C.∴AC.

　　【例1－1】下列命题：(1)空集没有子集；(2)任何集合至少有两个子集；(3)空集是任何集合的子集；(4)若A，则A≠；(5)集合AB，就是集合A中的元素都是集合B中的元素，集合B中的元素也都是集合A中的元素．

　　其中正确的有(　　)．

　　A．0个 B．1个

　　C．2个 D．3个

　　解析：(1)错误，因为空集是任何集合的子集，其中"任何集合"包括空集，所以也成立(或由于任何一个集合都是它本身的子集，所以空集的子集是它本身)；

　　(2)错误，如空集只有一个子集，即它本身；

(3)正确；(4)错误，由A可知，集合A可以是任何集合，其中包括；